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在《基金的主动投资与被动投资谁更有效》（刊登在09年5月25日上海证券报基金周刊第六版）中、作者通过理论推导和实证检验证实，经过完整市场周期，主动投资是可以超过指数基金的，文章指出中国证券市场中由于存在新股申购、定向增发的高额无风险收益，主动基金超越指数基金更加明显。文章还指出，如果主动基金仓位较低，是可能输给指数的。本文将建立数学模型，剔除中国证券市场的特殊情况，寻找主动型基金超越指数的临界仓位和最佳仓位。
一个完整市场周期分为两种情况，先涨后跌，先跌后涨，当指数越过起点后即开始新的周期，我们分别讨论两种情况。
先涨后跌：
假设先涨x，后跌y，则指数基金的最终净值：（1+x）×（1-y）、假设主动基金在上涨阶段获得的收益比例与下跌阶段承担的损失比例都是A，则主动指基金的最终净值：（1+Ax）×（1-Ay）。如果某位明星基金经理可以准确预测未来，使得在牛市阶段的收益比例大而熊市的损失比例少，当然超越指数轻而易举，但假设我们的基金经理只是平庸之辈。请注意我们没有考虑新股申购、定向增发等中国证券市场的特殊收益，使模型更有普遍意义，为简化模型，不考虑基金的债券收益及运营、管理费用。
我们希望主动基金超越指数，可以建立一个函数：
L=（1+Ax）×（1-Ay）-（1+x）×（1-y）≥0
x、y分别是牛市与熊市的涨跌幅度，x、y是由市场决定的，A是由基金仓位决定的，对于基金经理而言A才是变量和追求目标，如果函数L有解，则主动基金可以超越指数。
L=-A2xy+A(x-y)-(x-y-xy) ≥0
函数L的图形是：
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先讨论经过先涨后跌，指数回到起点的情况，则：
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由于A是主动基金在牛熊市获得收益、承担风险的比例，A必然大于0小于1，因此，在指数回到起点的周期中，不论A是30%、50%，还是80%，或者0到100%之间的任何数值，函数L都大于0，意味着主动基金都能超越指数，这是一个令人惊讶的结论。
根据一元二次函数理论，我们找到一个点，使得L达到顶点，就是主动基金超过指数最多的点，这个点■，由于在指数回到起点的周期中，■因此■，意味主动基金在牛市获得50%收益、熊市承担50%亏损的情况下，主动基金获得最大超额收益。
再考虑经过周期，指数终点高于起点的情况，即■，■。根据一元二次函数理论，函数L达到顶点，就是主动基金超过指数最多时
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综合上述经过先涨后跌的情况，主动基金要追求最大超额收益，A3≥■，即主动基金在牛市获得的收益比例与熊市承担的损失比例要大于或等于50%。如果基金经理能够准确测未来，使其牛市的收益比例大于熊市的亏损比例，业绩当然更好，但现实情况是没有人能持续、准确预知未来，尤其是市场转势的时候，基金调整仓位的步伐一般落后于市场，因为确认转势需要时间和空间。需要指出的是，获得最佳超额收益的A3与基金仓位是有所不同的，例如■时，并不意味股票半仓，由于现金或债券的存在，股票仓位是要高于50%的。
决定最佳超额收益的A3≥■，意味着主动基金初始建仓应在50%以上，随后根据指数涨跌调整仓位。基金的股票仓位在50%以下是比较危险的，除非你能准确预测指数将持续下行，否则指数一旦调头向上，基金有可能被指数甩在身后。就市场本质而言，未来是不可知的，没有人能持续、准确地预测未来，我们不能预知未来，只能面对现实，顺势而为。
一般股票型基金的股票仓位约定位为60-95%，有一些偏股型基金和平衡基金股票仓位的调整空间更大，股票仓位调整空间可以是零到95%。但仓位可以调整的幅度大并不一定有利于提高效益，虽然理想状态是熊市尽量降低仓位，转入牛市后尽快提高仓位，但是基金经理有惯性思维，很难做到迅速转向，尤其市场转向初期指数大幅度震荡，市场是否转向难以判断。
东吴动力在08年的熊市中由于低仓位一度排名第一，在市场转向时未能及时提高仓位，随后被市场甩在身后。09年6月12日上证综指报收2743，与之接近的是08年8月4日的2741，在206家股票型基金排名中，东吴动力竟然排名倒数第一，期间收益-17.3%（按照累计净值计算），远远输给指数。当然仓位也不是越高越好，全程满仓就成了指数基金，也不能实现超越指数的目标。光大保德信量化核心、中邮核心优选由于很高的仓位07年业绩分列第四、第二，08年由于惯性仍然保持超高仓位，结果08年排名分别113和倒数第三。尽管光大量化核心、中邮核心业绩大幅波动，但在08年8月4日-09年6月12日的市场周期中收益分别为-2.45%、17.9%，排名179、21，明显好于东吴动力。就长期而言，高仓位基金的业绩优于低仓位的基金，股票基金优于债券货币基金。
A的最佳解A3=■应该小于1，因为主动基金在牛市超越指数只是个别现象，熊市时主动基金损失大于指数也是不合常理的。
x-y＜2xy,y＞■，随着涨幅x增大，跌幅y的最小值趋近于50%。这个结论说明主动基金超越指数也是有边界的，如果x太大，y太小，例如：x=300%,y=30%,虽然A有两个解A1=1，A2=2，但A应该小于1，实际无解，除非主动基金在中市中获得收益的比例高于熊市损失的比例，否则难以超越指数。
以下是不同的涨幅下，函数L有合理解的范围：
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由于经过先涨后跌，指数的终点大于等于起点，（1+x）×(1-y)≥1，因此y＜■,y也是不能大于100%的。
我们接下来讨论先跌后涨的周期：
假设跌幅y，涨幅x，函数L=（1-Ay）×(1+Ax)-(1-y)×(1+x) ≥0,L=-A2xy+A(x-y)-(x-y-xy) ≥0,这个函数与先涨后跌的函数是相同的。
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如果终点回到起点，（1-y）×(1+x)= 1，A1=0. A2=1。我们得到与先涨后跌相同的结论：主动基金必然超越指数，A的最佳值是50%。
如果终点低于起点，（1-y）×(1+x)＜1, A的最佳值■＜■，意味着如果指数下跌后再也回不到起点，基金仓位要控制在50%以下。就市场发展规律而言，随着经济规模扩大，企业盈利增多，绝大多数市场经过熊市能够回到起点并创新高，新兴市场尤其为此。除非一个国家由于人口老化，市场萎缩，企业竞争力下降，类似日本长期低迷并不可能逆转。
结论：
1、不论先涨后跌，还是先跌后涨，只要是终点回到起点的市场周期，主动基金都是可以轻松超越指数的，主动基金在牛熊市获得收益与承担损失的比例为50%时，相对收益最大。虽然展望未来，我们不知道指数是否会回到目前的位置，但回望历史，我们可以找到N个与目前指数相同的时间点。
2、为了实现相对收益最大化，基金建仓时股票仓位应达到50%，然后根据指数涨跌顺势调整。新兴市场基金在一个完整市场周期的平均仓位应在50%以上，当股票仓位低于50%时要保持高度警惕，当市场反弹时应及时加仓，低仓位很容易被市场甩在身后。
3、主动基金超越指数也是有边界的，当涨幅太大，跌幅太小时，主动基金是难以超越指数的。当然也可以认为这种行情属于牛市，基金没有超越指数是正常的。
| x(%) | 50 | 60 | 80 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 |
| y＞(%) | 25 | 27.3 | 31 | 33.3 | 37.5 | 40 | 42 | 43 |